Рівняння Клейна-Ґордона — хвильове рівняння для скалярного поля

Рівняння Клейна-Ґордона — це релятивістське хвильове рівняння, яке описує рух квантованих скалярних або псевдоскалярних полів. Це одне з найпростіших рівнянь, що описують поведінку елементарних частинок, і слугує основою для багатьох моделей у фізиці високих енергій та теорії поля.

Історія

Рівняння було вперше запропоновано Оскаром Клейном та Вольфгангом Паулі у 1927 році, і незалежно від них Володимиром Фоком у 1928 році, саме тому його також називають рівнянням Клейна-Ґордона-Фока. Першопричина, чому вважалося, що рівняння описує поведінку електрона, була в тому, що для нерелятивістської частинки воно переходить у рівняння Шредінгера. Однак пізніше виявилось, що рівняння Клейна-Ґордона описує лише скалярні або псевдоскалярні поля.

Формулювання рівняння

В релятивістській квантовій механіці стан частинки описують хвильовою функцією. Хвильова функція скалярного поля задовольняє рівнянню Клейна-Ґордона:

(□ - m^2)φ(x) = 0,

де

• □ – оператор Даламбера,
• m – маса частинки,
• φ(x) – хвильова функція поля.

Виведення рівняння

Рівняння Клейна-Ґордона можна вивести з релятивістських співвідношень між енергією та імпульсом частинки. Умова, що частинка описується скалярним полем, накладає додаткові обмеження на її квантові числа, а саме: спін частинки дорівнює нулю.

Інтерпретація рівняння

Рівняння Клейна-Ґордона є хвильовим рівнянням, що описує рух скалярних або псевдоскалярних полів. Розв'язками цього рівняння є хвильові функції, які описують стан поля в кожній точці простору-часу.

Скалярні або псевдоскалярні поля є квантованими, а це означає, що вони мають дискретний набір енергетичних рівнів. Переходи між різними енергетичними рівнями можуть відбуватися за рахунок випромінювання або поглинання квантів енергії, таких як фотони.

Застосування рівняння Клейна-Ґордона

Рівняння Клейна-Ґордона використовується в різних галузях фізики:

• Фізика елементарних частинок: рівняння використовується для опису поведінки скалярних або псевдоскалярних мезонів.
• Теорія поля: рівняння є основою для багатьох моделей, що описують взаємодію полів.
• Космологія: рівняння використовується для опису еволюції Всесвіту.

Висновок

Рівняння Клейна-Ґордона є фундаментальним рівнянням релятивістської квантової механіки, яке описує рух скалярних або псевдоскалярних полів. Це рівняння має широке застосування в різних галузях фізики, від фізики елементарних частинок до космології.

Запитання, що часто задаються

• Що таке скалярне поле?
• Який фізичний зміст рівняння Клейна-Ґордона?
• Як рівняння Клейна-Ґордона використовується в фізиці?
• Які частинки описуються рівнянням Клейна-Ґордона?
• Які застосування рівняння Клейна-Ґордона?