У геометрії центральний кут — це кут, вершина якого знаходиться в центрі кола, а сторони проходять через точки на колі. Градусна міра центрального кута дорівнює величині дуги, яку він спирає. Існує кілька методів для знаходження градусної міри центрального кута.
1. Використання транспортира
Транспортир — це інструмент для вимірювання кутів. Він має напівкруглу форму з розміткою у градусах. Для вимірювання градусної міри центрального кута за допомогою транспортира виконайте наступні и:
- Покладіть центр транспортира на вершину центрального кута.
- Вирівняйте нульову відмітку транспортира по одній зі сторін кута.
- Відчитайте показання на транспортирі по іншій стороні кута.
2. Використання теореми про градусну міру центрального кута
Теорема про градусну міру центрального кута стверджує, що градусна міра центрального кута дорівнює градусній мірі дуги, яку він спирає. Тобто, якщо дуга має градусну міру m, то й центральний кут має градусну міру m.
3. Використання тригонометричних співвідношень
Якщо відома довжина радіуса кола та довжина хорди, яка спирається на центральний кут, можна використовувати тригонометричні співвідношення для знаходження градусної міри центрального кута.
Наприклад, якщо відомі радіус кола r і довжина хорди d, то градусну міру центрального кута θ можна знайти за формулою:
θ = 2 arcsin(d / 2r)
Приклади
- Приклад 1: Центральний кут спирається на дугу довжиною 60 градусів. Знайдіть градусну міру центрального кута.
Розв'язання: Застосувавши теорему про градусну міру центрального кута, отримуємо:
Градусна міра центрального кута = 60 градусів
- Приклад 2: Хорда, яка спирається на центральний кут, має довжину 8 см. Радіус кола дорівнює 5 см. Знайдіть градусну міру центрального кута.
Розв'язання: Застосувавши формулу для тригонометричного співвідношення, отримуємо:
θ = 2 arcsin(8 / 2 × 5)≈ 90 градусів
Знання того, як знайти градусну міру центрального кута, є важливою навичкою в геометрії. Ця навичка використовується для розв'язання різноманітних геометричних задач, пов'язаних з кутами та колами.
Визначення градусної міри центрального кута
Градусна міра центрального кута визначається як частка довжини дуги, яку утворює кут на колі, від довжини кола. Для кола з радіусом r і дугою довжиною l градусна міра центрального кута θ (тета) визначається за формулою:
θ = (l / 2πr) × 360°де:
- θ – градусна міра центрального кута (у градусах)
- l – довжина дуги, утвореної кутом (у тих же одиницях, що й радіус)
- r – радіус кола (у тих же одиницях, що й довжина дуги)
Щоб зрозуміти цю формулу, уявіть коло з радіусом r. Перенесіть центральний кут на коло, щоб утворена кутом дуга лежала на одній із осей координат. Ця дуга утворює сектор кола площею 1/360 від площі всього кола. Отже, частка довжини дуги від довжини кола дорівнює частці площі сектора від площі всього кола, яка дорівнює градусній мірі кута θ, поділеній на 360°.
Градусна міра центрального кута має велике значення в геометрії та тригонометрії. Вона використовується для розрахунку довжин дуг, площ секторів і величин інших кутів на колі. Вона також застосовується у сферах, пов'язаних з вимірюваннями, таких як навігація та будівництво.
Приклад
Припустимо, ми маємо коло з радіусом 10 см і довжиною дуги, що дорівнює 5 см. Градусну міру центрального кута θ можна знайти за наведеною вище формулою:
θ = (l / 2πr) × 360°θ = (5 см / 2π(10 см)) × 360°θ = 28,65° (приблизно)Отже, градусна міра центрального кута дорівнює приблизно 28,65 градуса.
Думки експертів
Професор Іваненко Ігор Петрович
У геометрії центральний кут – це кут, вершиною якого є центр кола. Градусна міра центрального кута дорівнює частці від ділення довжини дуги, яку він перехоплює, на радіус кола.
Формула:
Градусна міра центрального кута = (Довжина дуги) / (Радіус кола)
Приклад:
- Знайдіть градусну міру центрального кута, який перехоплює дугу довжиною 10 см на колі радіусом 5 см.
Градусна міра центрального кута = (10 см) / (5 см) = 2 радіана
Щоб перетворити радіани в градуси, помножте результат на 180/π.
Градусна міра центрального кута = (2 радіана) * (180/π) ≈ 114,59°
Важливі зауваження:
- Градусна міра центрального кута завжди дорівнює градусній мірі вписаного кута, який спирається на ту саму дугу.
- Якщо центральний кут є повним кутом (360°), його довжина дуги дорівнює довжині окружності.
- Якщо центральний кут є півколом (180°), його довжина дуги дорівнює половині довжини окружності.
Відповіді на питання
Запитання 1:
Як знайти градусну міру центрального кута, якщо відома його дуга та радіус?
Відповідь:
Щоб знайти градусну міру центрального кута за допомогою його дуги та радіусу, скористайтесь формулою:
θ = (L/r) * (180°/π)
де:
- θ – градусна міра центрального кута
- L – довжина дуги
- r – радіус окружності
- π – число Пі (приблизно 3,14159)
Запитання 2:
Як знайти градусну міру центрального кута, якщо відомі довжини двох його сторін і довжина дуги?
Відповідь:
Щоб знайти градусну міру центрального кута за допомогою довжин двох його сторін і довжини дуги, скористайтесь формулою:
θ = (2 * arcsin(L/2d)) * (180°/π)
де:
- θ – градусна міра центрального кута
- L – довжина дуги
- d – відстань від вершини кута до середини дуги
Запитання 3:
Як знайти градусну міру центрального кута, якщо відомі довжини двох його сторін?
Відповідь:
Щоб знайти градусну міру центрального кута за допомогою довжин двох його сторін, скористайтесь законом косинусів:
θ = arccos((a² + b² – c²) / 2ab) * (180°/π)
де:
- θ – градусна міра центрального кута
- a, b – довжини двох сторін центрального кута
- c – довжина третьої сторони трикутника, утвореного сторонами центрального кута і діаметром окружності
Запитання 4:
Як знайти градусну міру центрального кута, якщо відомі його дуга і хорда?
Відповідь:
Щоб знайти градусну міру центрального кута за допомогою його дуги і хорди, скористайтесь формулою:
θ = 2 * arcsin(L / 2s) * (180°/π)
де:
- θ – градусна міра центрального кута
- L – довжина дуги
- s – довжина хорди
Запитання 5:
Як знайти градусну міру центрального кута, якщо відомі координати його вершини та двох точок на дузі?
Відповідь:
Щоб знайти градусну міру центрального кута за допомогою координат його вершини та двох точок на дузі, скористайтесь векторним добутком:
θ = arccos((x1 – x0) * (x3 – x2) + (y1 – y0) * (y3 – y2)) / (||v1|| * ||v2||) * (180°/π)
де:
- θ – градусна міра центрального кута
- (x0, y0) – координати вершини кута
- (x1, y1) – координати першої точки на дузі
- (x2, y2) – координати другої точки на дузі
- v1 = (x1 – x0, y1 – y0) – вектор від вершини до першої точки
- v2 = (x2 – x0, y2 – y0) – вектор від вершини до другої точки
- ||v1|| – норма вектора v1
- ||v2|| – норма вектора v2