Квадрат суми чисел проти суми квадратів
У математиці ми часто стикаємося із завданням порівняти різні вирази. Одним із поширених порівнянь є співставлення квадрата суми двох чисел із сумою їхніх квадратів. Цю задачу ми розглянемо далі.
Основне питання
Припустимо, у нас є два числа, 23 і 11. Що буде більше: квадрат їх суми (23 + 11)² або сума їх квадратів (23² + 11²)? Наскільки різниця буде більшою чи меншою?
Визначення
* Квадрат суми: результат піднесення суми двох чисел у квадрат.
* Сума квадратів: результат додавання квадратів двох чисел.
Розрахунок
Квадрат суми:
(23 + 11)² = 34² = 1156
Сума квадратів:
23² + 11² = 529 + 121 = 650
Порівняння
Порівнюючи результати, ми бачимо, що квадрат суми (1156) більший за суму квадратів (650). Різниця між ними становить:
1156 – 650 = 506
Отже, квадрат суми чисел 23 і 11 на 506 більший за суму їх квадратів.
Загальний принцип
З цього прикладу можна зробити загальний висновок: для будь-яких двох довільних чисел квадрат їх суми завжди більший за суму їх квадратів. Це можна довести алгебраїчно, розкривши дужки у виразі для квадрата суми і використовуючи властивість розподільності множення відносно додавання.
Інші приклади
Ось ще кілька прикладів для ілюстрації цієї концепції:
* Для чисел 5 і 7: (5 + 7)² = 12² = 144; 5² + 7² = 25 + 49 = 74; різниця = 144 – 74 = 70.
* Для чисел 12 і 15: (12 + 15)² = 27² = 729; 12² + 15² = 144 + 225 = 369; різниця = 729 – 369 = 360.
* Для чисел 20 і 25: (20 + 25)² = 45² = 2025; 20² + 25² = 400 + 625 = 1025; різниця = 2025 – 1025 = 1000.
Зверніть увагу: Цей принцип не поширюється на добуток суми та різниці двох чисел. Насправді для (a + b)(a – b) справедлива ідентичність a² – b².
Запитання 1: Що більше – квадрат суми чисел 23 і 11 чи сума їхніх квадратів?
Відповідь: Сума їхніх квадратів більша.
Запитання 2: На скільки сума квадратів чисел 23 і 11 перевищує квадрат їхньої суми?
Відповідь: На 16 одиниць.
Запитання 3: Яка формула використовується для обчислення різниці між сумою квадратів і квадратом суми двох чисел?
Відповідь: Формула різниці квадратів: (x+y)² – (x²+y²) = 2xy.
Запитання 4: Як можна довести, використовуючи алгебру, що сума квадратів двох чисел завжди перевищує квадрат їхньої суми?
Відповідь: Використовуємо формулу різниці квадратів:
(x+y)² – (x²+y²) = 2xy
Оскільки добуток двох чисел завжди додатне, то й різниця між сумою квадратів і квадратом суми також додатна.
Запитання 5: Чи існує випадок, коли квадрат суми двох чисел дорівнює сумі їхніх квадратів?
Відповідь: Так, коли обидва числа дорівнюють нулю.